Um navio é constituído basicamente de Ferro cuja massa específica é $$\rho_{Fe}=7,874 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$$ maior que o da água $$\rho_{\mathrm{H}2O}=$$ $$1,000 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$$. Dessa forma pode-se pensar que nada com densidade maior que o da água possa flutuar. Assim navios feitos com densidade menor poderiam flutuar. Na verdade, o que ocorre é que a massa específica do corpo que tem que ser menor e não a do material. O fato de o navio não ser compacto é o que proporciona isso. Assim considere uma esfera de ferro oca de raio externo igual a $$1,000 \mathrm{~m}$$ fica numa situação de iminência de afundar. Qual o valor do raio interno ao cubo (dado em $$\mathrm{m}^{3}$$ ).

Um navio é constituído basicamente de Ferro cuja massa específica é 

. Dessa forma pode-se pensar que nada com densidade maior que o da água possa flutuar. Assim navios feitos com densidade menor poderiam flutuar. Na verdade, o que ocorre é que a massa específica do corpo que tem que ser menor e não a do material. O fato de o navio não ser compacto é o que proporciona isso. Assim considere uma esfera de ferro oca de raio externo igual a 

 fica numa situação de iminência de afundar. Qual o valor do raio interno ao cubo (dado em 

Física

Para resolver essa questão, precisamos entender o princípio de Arquimedes, que diz que um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do volume de fluido deslocado. Para que a esfera de ferro oca flutue, o peso da esfera deve ser igual ao peso da água deslocada.

Vamos seguir os passos para encontrar o raio interno ao cubo:

1. **Calcular o volume da esfera oca**: O volume de uma esfera é dado por $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $, onde $ r $ é o raio da esfera. Para uma esfera oca, o volume é a diferença entre o volume da esfera externa e o volume da esfera interna. Se $ R $ é o raio externo e $ r $ é o raio interno, o volume da esfera oca é $ V_{oca} = \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3) $.

2. **Calcular a massa da esfera oca**: A massa da esfera oca é o produto da massa específica do ferro ($ \rho_{Fe} $) pelo volume da esfera oca. Então, $ m_{oca} = \rho_{Fe} \cdot V_{oca} $.

3. **Calcular o peso da esfera oca**: O peso é o produto da massa pela aceleração da gravidade ($ g $), que é aproximadamente $ 9,81 m/s^2 $. Então, $ P_{oca} = m_{oca} \cdot g $.

4. **Calcular o volume de água deslocado**: O volume de água deslocado é igual ao volume da esfera oca, pois a esfera está na iminência de afundar. Então, $ V_{água} = V_{oca} $.

5. **Calcular o peso da água deslocada**: O peso da água deslocada é o produto da massa específica da água ($ \rho_{H2O} $) pelo volume de água deslocado e pela aceleração da gravidade. Então, $ P_{água} = \rho_{H2O} \cdot V_{água} \cdot g $.

6. **Igualar o peso da esfera oca ao peso da água deslocada**: Para que a esfera flutue, $ P_{oca} = P_{água} $.

Agora, vamos aplicar os valores conhecidos:

- $ R = 1,000 m $
- $ \rho_{Fe} = 7,874 g/cm^3 = 7874 kg/m^3 $ (convertendo para unidades do SI)
- $ \rho_{H2O} = 1,000 g/cm^3 = 1000 kg/m^3 $ (convertendo para unidades do SI)
- $ g = 9,81 m/s^2 $

Substituindo na igualdade $ P_{oca} = P_{água} $:

$ \rho_{Fe} \cdot \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3) \cdot g = \rho_{H2O} \cdot \frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3) \cdot g $

Podemos cancelar $ \frac{4}{3}\pi $ e $ g $ dos dois lados da equação, pois são iguais e não zero:

$ \rho_{Fe} \cdot (R^3 - r^3) = \rho_{H2O} \cdot (R^3 - r^3) $

Como $ R^3 - r^3 $ é o mesmo dos dois lados, podemos simplificar a equação para:

$ \rho_{Fe} = \rho_{H2O} $

Mas isso não faz sentido, pois sabemos que $ \rho_{Fe} $ é maior que $ \rho_{H2O} $. O que queremos é que a massa total da esfera oca seja igual à massa da água deslocada. Então, vamos corrigir a equação para:

$ \rho_{Fe} \cdot (R^3 - r^3) = \rho_{H2O} \cdot R^3 $

Agora, isolamos $ r^3 $:

$ \rho_{Fe} \cdot R^3 - \rho_{Fe} \cdot r^3 = \rho_{H2O} \cdot R^3 $

$ \rho_{Fe} \cdot r^3 = \rho_{Fe} \cdot R^3 - \rho_{H2O} \cdot R^3 $

$ r^3 = R^3 \cdot \left( \frac{\rho_{Fe} - \rho_{H2O}}{\rho_{Fe}} \right) $

Substituindo os valores conhecidos:

$ r^3 = (1,000 m)^3 \cdot \left( \frac{7874 kg/m^3 - 1000 kg/m^3}{7874 kg/m^3} \right) $

$ r^3 = 1 m^3 \cdot \left( \frac{6874}{7874} \right) $

$ r^3 = \frac{6874}{7874} $

$ r^3 \approx 0,873 m^3 $

Portanto, o valor do raio interno ao cubo é aproximadamente 0,873 m³, o que corresponde à alternativa (b) 0,873.

Questão sobre Hidrostática: Massa Específica

Disciplina Física

Física

Fonte URCA

URCA

Assunto Hidrostática: Massa Específica

Hidrostática: Massa Específica

Dificuldade Médio

Médio

(URCA 2020) - Questão Médio de Física