Introdução

Relevância do Tema

A Função do Segundo Grau é um dos pilares fundamentais da matemática e suas aplicações permeiam diversas áreas do conhecimento, da física à economia. O domínio deste conceito permite a resolução de problemas práticos, a manipulação de modelos matemáticos e o entendimento abstrato da natureza dos números. O gráfico e a tabela desta função são ferramentas potentes que possibilitam visualizar e compreender seu comportamento, características e propriedades.

Contextualização

Inserido no contexto mais amplo do currículo de Matemática do Ensino Médio, o estudo da Função do Segundo Grau: Gráfico e Tabela está estrategicamente localizado como um tópico central que interconecta múltiplas unidades de aprendizagem. Serve como base para o estudo de funções mais complexas, como as funções exponenciais e logarítmicas, e como preparação para conceitos avançados de cálculo e análise matemática. Esta seção se articula ainda com o estudo de geometria analítica e de estatística, enriquecendo o entendimento do aluno destas disciplinas e estimulando uma visão integrada do conhecimento matemático.

Desenvolvimento Teórico

Componentes

• Forma Geral da Função do Segundo Grau: A forma geral de uma função do segundo grau é f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c sendo constantes e a ≠ 0. Este formato essencial define a função e suas principais características, como o concavidade, interceptações com os eixos, e o vértice da parábola.

• Discriminante (Δ): O discriminante (Δ) é uma ferramenta essencial para a análise da função do segundo grau e está diretamente ligado aos seus zeros, isto é, aos pontos onde a função intersecta o eixo x. Se Δ > 0, a função possui dois zeros reais e distintos; se Δ = 0, a função possui dois zeros reais e iguais (ou seja, um único ponto de intersecção com o eixo x); se Δ < 0, a função não possui zeros reais (parábola não intersecta o eixo x).

• Coeficientes (a, b e c): Os coeficientes a, b e c da forma geral da função do segundo grau são determinantes para o seu comportamento e sua aparência no gráfico. O coeficiente a define a concavidade da parábola (a > 0 parábola voltada para cima, a < 0 parábola voltada para baixo), o coeficiente b está relacionado com a posição do vértice, e o coeficiente c é a ordenada do ponto onde a parábola intercepta o eixo y.

• Vértice da Parábola: O vértice da parábola f(x) = ax² + bx + c tem coordenadas x = -b/2a e y = f(x), e representa o ponto de máxima ou mínima (dependendo da concavidade da parábola) da função. É um ponto de extremo do gráfico.

• Raízes da Função do Segundo Grau: As raízes de uma função do segundo grau correspondem aos valores de x para os quais f(x) = 0. Estes valores podem ser determinados a partir do Discriminante (Δ) e são de grande importância para a construção da tabela e do gráfico da função.

Termos-Chave

• Função do Segundo Grau: Também conhecida como função quadrática, é uma função da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes e a ≠ 0. Os principais elementos dessa função são o coeficiente a (determina a concavidade da parábola), o coeficiente b (determina a posição do vértice) e o coeficiente c (determina a ordenada do ponto onde a parábola intercepta o eixo y).

• Gráfico da Função: O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola. Seu formato e posição no plano são determinados pelos coeficientes a, b e c da função. A análise do gráfico permite inferências sobre os zeros da função, a concavidade da parábola e as propriedades da função.

• Tabela da Função: A tabela da função do segundo grau é construída a partir da substituição de valores de x na função. Os pares ordenados (x, f(x)) obtidos são as coordenadas dos pontos que pertencem ao gráfico da função.

Exemplos e Casos

1. Exemplo 1: Seja a função f(x) = x² - 4x + 3. Esta é uma função do segundo grau com a = 1, b = -4 e c = 3. Podemos determinar o vértice e as raízes da função, assim como o tipo de parábola (voltada para cima, no caso) a partir destes coeficientes. O discriminante é Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4. Como Δ > 0, sabemos que a função tem duas raízes reais e distintas.

2. Exemplo 2: Seja a função g(x) = -2x² + 4x - 1. Neste caso, a função é uma parábola voltada para baixo, pois a = -2. O vértice da parábola pode ser calculado através de x = -b/2a = -4/(-4) = 1. Substituindo x = 1 na função, obtemos y = g(1) = -2(1)² + 4(1) - 1 = 1. Portanto, o vértice da parábola é (1,1).

Resumo Detalhado

Pontos Relevantes

• Entendendo a Notação: A função do segundo grau, também chamada de função quadrática, é representada por f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes e a ≠ 0. Cada um desses coeficientes tem um papel fundamental na configuração e no comportamento da função, que é retratada na forma de uma parábola.

• Explorando o Discriminante: O discriminante (Δ), que se obtém a partir da fórmula Δ = b² - 4ac, é uma ferramenta essencial na análise das características da parábola. A partir dele podemos classificar a função segundo a quantidade de raízes reais distintas: Δ > 0 indica duas raízes, Δ = 0 indica uma raiz, e Δ < 0 indica que a função não tem raízes reais.

• Vértice da Parábola e suas Coordenadas: O vértice de uma parábola, ou ponto de máximo ou mínimo, é vital para entender o comportamento da função. Para uma função do segundo grau da forma f(x) = ax² + bx + c, as coordenadas do vértice são x = -b/2a e y = f(x).

• Definindo as Raízes: As raízes, também conhecidas como zeros, de uma função do segundo grau são os pontos em que a função intersecta o eixo x. A quantidade e os valores destes pontos são determinados pelo discriminante (Δ).

• A Construção do Gráfico e da Tabela: A tabela da função é obtida substituindo valores de x na função e registrando os pares ordenados (x, f(x)). Estes pares constituem os pontos que pertencem ao gráfico da função, sendo a representação visual do comportamento da função.

Conclusões

• Proficiência na Análise da Função do Segundo Grau: O domínio dos conceitos e ferramentas associadas à função do segundo grau, tais como o Discriminante, a análise dos coeficientes e a localização e análise do vértice, permite realizar inferências precisas sobre o comportamento e as características da função.

• Uso Efetivo do Gráfico e da Tabela: A habilidade de interpretar o gráfico e a tabela da função do segundo grau é fundamental na resolução de problemas práticos e na compreensão de modelos matemáticos.

• Conexão com Outros Tópicos Matemáticos: A função do segundo grau, com seu gráfico em forma de parábola, serve como um elo de ligação entre diversas áreas da matemática, contribuindo para a compreensão integrada do currículo.

Exercícios

1. Exercício 1: Determine o discriminante, o vértice e as raízes da função f(x) = 2x² - 3x + 1.

2. Exercício 2: Dada a função g(x) = -x² + 4x - 3, determine a concavidade (voltada para cima ou para baixo), o vértice e as raízes.

3. Exercício 3: Construa a tabela e o gráfico da função h(x) = x² - x - 2. A partir do gráfico, determine o valor de h(3).