Resumo de Progressão Aritmética: Soma

TÓPICOS

Palavras-chave

• Progressão Aritmética (PA)
• Termo Geral (an)
• Razão (r)
• Soma dos Termos (Sn)
• Sequência Numérica
• Termo Inicial (a1)

Questões-chave

• Como identificar uma PA?
• Qual é a fórmula do termo geral de uma PA?
• Como calcular a soma dos termos de uma PA?
• Qual é a relação entre a soma e os termos de uma PA?

Tópicos Cruciais

• Definição: Sequência numérica onde a diferença entre termos sucessivos é constante.
• Fórmula Termo Geral: an = a1 + (n - 1) * r
• Fórmula Soma dos Termos: Sn = n/2 * (a1 + an)

Fórmulas

• Termo Geral da PA: an = a1 + (n - 1) * r
• Soma dos n Termos de uma PA: Sn = (n * (a1 + an)) / 2 ou Sn = n/2 * (2a1 + (n-1) * r)

ANOTAÇÕES

Termos-Chave

• Progressão Aritmética (PA): Sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r (razão).
• Termo Geral (an): Valor de qualquer termo da sequência, localizado na posição n.
• Razão (r): Diferença constante entre termos consecutivos.
• Soma dos Termos (Sn): Resultado da adição dos n primeiros termos da PA.
• Termo Inicial (a1): Primeiro elemento da sequência.

Principais Ideias, Informações e Conceitos

• Uma PA é determinada por seu primeiro termo e razão. Estes definem a sequência inteira.
• A razão é a peça-chave que nos permite encontrar qualquer termo posterior na sequência.
• A soma dos termos de uma PA pode ser calculada sem a necessidade de somar cada termo individualmente.

Conteúdos dos Tópicos

• Para encontrar a soma dos n primeiros termos (Sn) de uma PA, utilizamos uma das duas fórmulas equivalentes, dependendo dos dados disponíveis:
  • Primeira Fórmula de Soma (usando o primeiro e o último termo): Sn = n/2 * (a1 + an)
  • Segunda Fórmula de Soma (usando o primeiro termo e a razão): Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1) * r)

Exemplos e Casos

• Exemplo 1: Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10), calcule a soma dos 5 primeiros termos.

  • Identificamos o primeiro termo (a1 = 2) e a razão (r = 2).
  • Utilizamos a segunda fórmula de soma: Sn = 5/2 * (2*2 + (5 - 1) * 2) = Sn = 5/2 * (4 + 8) = Sn = 5/2 * 12 = Sn = 30
  • A soma dos termos é 30.

• Exemplo 2: Se temos a1 = 3 e a razão r = 5, qual é a soma dos primeiros 20 termos?

  • Com o primeiro termo (a1 = 3) e a razão (r = 5), determinamos o termo geral da PA: an = 3 + (20 - 1) * 5 = an = 3 + 95 = an = 98.
  • Utilizamos a primeira fórmula de soma: Sn = 20/2 * (3 + 98) = Sn = 10 * 101 = Sn = 1010
  • A soma dos termos é 1010.

Estas fórmulas e exemplos são essenciais, pois permitem o cálculo rápido e eficiente da soma de termos de uma PA, uma habilidade útil em diversas aplicações matemáticas e do dia a dia.

RESUMO

Pontos mais relevantes

• Definição de PA: Uma sequência de números onde a diferença entre cada par de termos consecutivos é constante, chamada razão (r).
• Termo Geral (an): Permite calcular qualquer termo da sequência utilizando a fórmula an = a1 + (n - 1) * r.
• Soma dos Termos (Sn): A soma dos primeiros n termos pode ser encontrada rapidamente com as fórmulas Sn = n/2 * (a1 + an) ou Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1) * r).

Conclusões

• A estrutura de uma PA é definida pelo seu primeiro termo (a1) e pela razão (r).
• A soma dos termos de uma PA não exige a adição individual de cada termo, mas sim a aplicação de fórmulas específicas para cálculo rápido.
• O conhecimento do termo geral e das fórmulas de soma é fundamental para resolver problemas envolvendo PA.
• A capacidade de calcular a soma de uma PA tem aplicabilidade prática em diversos contextos, reforçando a importância de compreender e aplicar tais conceitos matemáticos.