Plano de Aula | Metodologia Tradicional | Análise Combinatória: Permutação com Repetição

Objetivos

Duração: 10 - 15 minutos

A finalidade desta etapa é fornecer aos alunos uma compreensão clara do que será abordado na aula, estabelecendo um ponto de referência para o conteúdo e as habilidades que serão desenvolvidas. Isso ajudará os alunos a focarem nos conceitos-chave e a entenderem a relevância do tópico para a resolução de problemas específicos.

Objetivos principais:

1. Entender o conceito de permutação com repetição e suas aplicações.

2. Aprender a fórmula para calcular permutações com elementos repetidos.

3. Resolver problemas práticos envolvendo permutações de palavras com letras repetidas, como 'BANANA'.

Introdução

Duração: 10 - 15 minutos

A finalidade desta etapa é fornecer aos alunos uma compreensão clara do que será abordado na aula, estabelecendo um ponto de referência para o conteúdo e as habilidades que serão desenvolvidas. Isso ajudará os alunos a focarem nos conceitos-chave e a entenderem a relevância do tópico para a resolução de problemas específicos.

Contexto

Para iniciar a aula sobre Análise Combinatória com foco em Permutação com Repetição, comece estabelecendo a relevância do tema. Explique que na matemática, a análise combinatória é uma ferramenta poderosa para contar e organizar elementos de um conjunto. As permutações são uma das principais partes dessa análise. Quando alguns elementos se repetem, as permutações com repetição entram em jogo. Dê um exemplo prático, como a organização de letras em uma palavra onde há repetição, como 'BANANA'.

Curiosidades

Você sabia que o conceito de permutação com repetição é utilizado em várias áreas do conhecimento? Por exemplo, na criptografia, para gerar combinações seguras de senhas, e na biologia, para estudar as diferentes maneiras de combinar nucleotídeos no DNA. Além disso, na vida cotidiana, podemos pensar em como organizar diferentes itens, como livros em uma prateleira ou roupas em uma mala, levando em consideração itens que são iguais.

Desenvolvimento

Duração: 40 - 50 minutos

A finalidade desta etapa é aprofundar o entendimento dos alunos sobre permutação com repetição através da exposição detalhada do conteúdo e da resolução de problemas práticos. Isso permitirá que os alunos consolidem o conhecimento teórico com a prática e desenvolvam habilidades para aplicar a fórmula de permutação com elementos repetidos em diferentes contextos.

Tópicos Abordados

1. Conceito de Permutação com Repetição: Explique que permutação com repetição ocorre quando temos que permutar elementos em que alguns são iguais. Enfatize que a fórmula para calcular a permutação com repetição é P = n! / (n1! * n2! * ... * nk!), onde n é o total de elementos e n1, n2, ..., nk são as repetições de cada elemento. 2. Fórmula e Aplicação: Detalhe a fórmula P = n! / (n1! * n2! * ... * nk!) e mostre como aplicá-la. Exemplifique com a palavra 'BANANA', onde temos 6 letras no total (n = 6), com 3 repetições de 'A', 2 de 'N' e 1 de 'B'. A fórmula ficaria: P = 6! / (3! * 2! * 1!) 3. Exemplos Práticos: Forneça exemplos práticos para os alunos resolverem juntos. Utilize palavras como 'MASSA', 'LIVRO' e 'COCADA' para que os alunos possam ver diferentes casos de permutações com repetições variadas.

Questões para Sala de Aula

1. Calcule o número de permutações distintas da palavra 'MASSA'. 2. Quantas permutações distintas podem ser formadas com a palavra 'LIVRO'? 3. Determine o número de permutações distintas da palavra 'COCADA'.

Discussão de Questões

Duração: 20 - 25 minutos

A finalidade desta etapa é revisar e consolidar o conhecimento adquirido pelos alunos durante a aula. Ao discutir as soluções das questões e engajar os alunos com perguntas reflexivas, garantimos que eles compreendam profundamente o conceito de permutação com repetição e saibam aplicá-lo em diferentes contextos.

Discussão

• Palavra 'MASSA': Para calcular o número de permutações distintas da palavra 'MASSA', vamos usar a fórmula P = n! / (n1! * n2! * ... * nk!). Temos 5 letras no total (n = 5), com 2 repetições de 'S' e 2 de 'A'. A fórmula ficaria: P = 5! / (2! * 2!) = 120 / (2 * 2) = 120 / 4 = 30. Portanto, há 30 permutações distintas para a palavra 'MASSA'.

• Palavra 'LIVRO': Para calcular o número de permutações distintas da palavra 'LIVRO', usamos a mesma fórmula. Temos 5 letras no total (n = 5) e não há repetições. A fórmula ficaria: P = 5! / (1! * 1! * 1! * 1! * 1!) = 120 / 1 = 120. Portanto, há 120 permutações distintas para a palavra 'LIVRO'.

• Palavra 'COCADA': Para calcular o número de permutações distintas da palavra 'COCADA', novamente usamos a fórmula. Temos 6 letras no total (n = 6), com 2 repetições de 'C' e 2 de 'A'. A fórmula ficaria: P = 6! / (2! * 2!) = 720 / (2 * 2) = 720 / 4 = 180. Portanto, há 180 permutações distintas para a palavra 'COCADA'.

Engajamento dos Alunos

1. Por que é importante considerar as repetições ao calcular permutações? 2. Como podemos aplicar o conceito de permutação com repetição em outras áreas além das palavras? 3. Qual é a diferença entre permutação simples e permutação com repetição? 4. Explique um exemplo prático onde você poderia usar permutação com repetição no seu dia a dia. 5. Como a fórmula de permutação com repetição muda se tivermos mais grupos de elementos repetidos?

Conclusão

Duração: 10 - 15 minutos

A finalidade desta etapa é consolidar o conhecimento adquirido pelos alunos durante a aula, recapitulando os pontos principais abordados. Ao conectar a teoria com a prática e discutir a relevância do conteúdo, garante-se que os alunos compreendam a importância do tema e saibam aplicá-lo em diferentes contextos.

Resumo

• Entendimento do conceito de permutação com repetição e suas aplicações.
• Aprendizado da fórmula para calcular permutações com elementos repetidos: P = n! / (n1! * n2! * ... * nk!).
• Resolução prática de problemas envolvendo permutações de palavras com letras repetidas, como 'BANANA', 'MASSA', 'LIVRO' e 'COCADA'.

A aula conectou a teoria com a prática através da explicação detalhada do conceito de permutação com repetição e da fórmula correspondente, seguida pela resolução guiada de problemas práticos. Isso permitiu que os alunos vissem a aplicação direta da teoria em exemplos concretos, facilitando a compreensão e a memorização do conteúdo.

Entender permutações com repetição é fundamental não apenas para resolver problemas matemáticos, mas também em diversas áreas como criptografia, biologia e organização de itens no cotidiano. Saber como calcular permutações com elementos repetidos permite uma melhor organização e compreensão de padrões, o que é útil em várias situações do dia a dia.