Banco de questões: Geometria Analítica: Equação da Circunferência

Uma empresa de tecnologia está construindo um novo campus e precisa projetar um grande pátio circular que será o ponto de encontro dos funcionários nos intervalos. O arquiteto responsável pelo projeto deseja instalar uma fonte no centro exato do pátio, que é uma circunferência de 100 metros de diâmetro. Sabendo que o ponto (150, 200) está localizado na borda da circunferência, determine a equação da circunferência que representa o pátio e identifique o centro e o raio da circunferência.

Considere uma circunferência no plano cartesiano definida pela equação (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h, k) são as coordenadas do centro e 'r' é o raio da circunferência. Uma das aplicações da Geometria Analítica é a determinação de circunferências que passam por pontos específicos do plano. Dado um ponto A(x1, y1) no plano, é possível encontrar uma circunferência que passa por A e tem seu centro no eixo y. Supondo que o ponto A seja (3, 4), determine a equação da circunferência que passa por A e tem centro no eixo y.

Em um parque de diversões, há uma roda-gigante localizada em um ponto cujas coordenadas são conhecidas e representam o centro da circunferência percorrida por suas cabines. Duas luzes, uma em cada extremidade horizontal do diâmetro da roda, se projetam no chão formando um ângulo de 60 graus com a linha que conecta o centro da roda aos pontos de projeção. Um visitante observa que o ponto de interseção dessas luzes está a uma distância de 10 metros do centro da roda-gigante. (a) Considerando que o centro da roda-gigante é o ponto (h, k) e o raio é R, determine a equação da circunferência que descreve o movimento das cabines da roda-gigante. (b) Avalie e discuta a posição do visitante em relação à equação e ao raio da roda-gigante, fornecendo uma justificativa matemática para a sua conclusão.

Uma empresa de engenharia está construindo uma nova pista de testes para veículos autônomos. Para garantir a precisão dos testes de direção autônoma, é essencial que a pista seja perfeitamente circular, com um ponto específico sendo o centro exato. A equipe de topografia já marcou três pontos distintos no terreno que sabem estar sobre a circunferência da pista. Esses pontos têm as seguintes coordenadas: A(3,4), B(7,6) e C(5,8). Com base nessa informação, responda: (1) Qual é a equação da circunferência que passa por esses três pontos? (2) Considerando que o ponto D(5,6) está alocado no interior da pista em construção, determine se ele está ou não no círculo e justifique sua resposta com um cálculo detalhado baseado na equação da circunferência.

Um satélite geoestacionário orbita a Terra de tal forma que permanece sempre sobre o mesmo ponto da superfície terrestre. Considerando que o raio da órbita geoestacionária é de aproximadamente 42.164 km e o centro da Terra está no ponto de coordenadas (0, 0) no sistema de coordenadas cartesianas, a trajetória desse satélite pode ser descrita por uma circunferência. Suponha que, devido a um defeito na direção, o satélite desvia-se para uma nova posição onde as coordenadas do seu centro de órbita (x', y') tornam-se (10000, 20000). Com base nessas informações e sabendo que a equação da circunferência no plano cartesiano é dada por (x-x')²+(y-y')²=R², onde (x', y') são as coordenadas do centro, e R é o raio da circunferência. Calcule a equação da nova trajetória circular em função de x e y, considerando o desvio do satélite para a nova posição.