(Originais Teachy 2024) - Questão Difícil de Matemática

Considere o sistema solar, onde diversos corpos celestes descrevem trajetórias elípticas em torno do Sol, obedecendo às leis de Kepler. Seja um objeto espacial hipotético que, durante um período de observação, forneça a seguinte posição em coordenadas retangulares tridimensionais (x, y, z) em função do tempo t: \[ \vec{r}(t) = (at^2, bt^3, ct) \] onde a, b e c são constantes reais e t é o tempo em segundos. Com base nessa informação e considerando que as trajetórias das órbitas planetárias possuem o formato de elipses, analise os seguintes itens: 1) Determine a equação da cônica que representa a projeção da órbita do objeto espacial no plano xy e identifique o tamanho dos semieixos e a excentricidade da elipse correspondente. 2) Se o objeto espacial passa pelas coordenadas (x, y, z) = (0, 0, 0) em um determinado tempo t0, determine uma equação paramétrica para a linha reta que conecta o objeto ao Sol, assumindo que o Sol esteja na origem do sistema de coordenadas.