Banco de questões: Determinantes: Propriedades

Considere o cubo de um material homogêneo, cuja densidade é dada pela função \( \rho(x,y,z) = k\sin(x)\sin(y)\sin(z) \), onde \( k \) é uma constante positiva e \( x \), \( y \) e \( z \) variam no intervalo \( [0, \pi] \). A densidade de um corpo material é a razão entre a massa e o volume do corpo. Se o cubo tem aresta de comprimento \( L \) e sua massa é \( M \), determine o valor de \( k \) de forma que a integral tripla da densidade dentro do cubo seja igual à sua massa e que a razão entre a densidade média do cubo e a densidade na sua diagonal seja maximizada. Considere que \( M \) e \( L \) são valores conhecidos.

Considere uma situação em que um engenheiro está projetando um sistema de comunicação para um veículo espacial. Para garantir a integridade dos dados enviados e recebidos, o engenheiro utiliza um sistema de redundância que envia as mesmas informações em canais distintos e compara os resultados. Em um determinado teste, o engenheiro precisa verificar se a matriz A, que representa os dados de um canal, é adequada para o envio. A matriz A é dada por A = [[2, 4, 6], [1, 3, 5], [0, 0, 0]]. O engenheiro sabe que se o determinante da matriz A for diferente de zero, então a matriz é adequada para a transmissão de dados. Baseado nessa informação e utilizando suas habilidades em propriedades de determinantes, responda: 1) Qual é o determinante da matriz A e o que isso indica sobre a adequação dela para o envio de dados? 2) Explique como a propriedade de que o determinante de uma matriz é zero se ela tiver duas linhas ou duas colunas iguais pode ser aplicada para justificar o resultado obtido na matriz A.

Uma empresa de engenharia trabalha com uma matriz quadrada 4x4 que representa as forças atuantes em uma estrutura complexa. A engenharia identificou que, devido à simetria da estrutura, as forças atuantes nas linhas e colunas 2 e 3 são iguais. Considerando que a matriz de forças A é dada por A = [[1, 2, 3, 4], [2, p, q, 7], [3, q, p, 8], [4, 7, 8, 9]], onde p e q são números reais, calcule o valor de p e q sabendo que o determinante de A é igual a 0.

Considere a matriz A = [[2, 3, 0], [4, 1, 2], [0, 5, 1]]. Sabendo que o determinante de uma matriz é inalterado quando trocamos as linhas ou as colunas, determine o valor do determinante de A.